Georg Cantor відомі цитати

Суть математики якраз і полягає в її свободі.

Поставити правильне запитання складніше, ніж відповісти на нього.

Помилковий висновок, колись зроблений і широко визнаний, нелегко позбутися, і чим менше його розуміють, тим наполегливіше за нього тримаються.

Множина-це множина, яка дозволяє сприймати себе як єдине ціле.

У математиці мистецтво постановки питання має цінуватися вище, ніж його рішення.

Актуальна нескінченність виникає в трьох контекстах: по-перше, коли вона реалізується в найповнішій формі, в повністю незалежній потойбічній істоті, в Deo, де я називаю її абсолютною нескінченністю або просто Абсолютом; по-друге, коли вона виникає в умовному, створеному світі; по-третє, коли розум абстрактно сприймає її як математична величина, число або тип замовлення.

Страх перед нескінченністю-це форма короткозорості, яка руйнує можливість побачити дійсну нескінченність, навіть незважаючи на те, що вона у своїй вищій формі створила і підтримує нас, а в своїх вторинних трансфінітних формах зустрічається всюди навколо нас і навіть населяє наш розум.

Кожна трансфінітна послідовна множинність, тобто кожна трансфінітна множина, повинна мати певний алеф як своє кардинальне число.

У математиці мистецтво задавати питання є більш цінним, ніж вирішувати проблеми.

Без сумніву, ми не можемо обійтися без змінних величин у сенсі потенційної нескінченності. Але з самого цього факту можна зробити висновок про необхідність актуальної нескінченності.

Те, що я стверджую і вважаю продемонстрованим у цій та попередніх роботах, полягає в тому, що за кінцевим слідує трансфініт (який також можна назвати надкінцевим), тобто необмежений висхідний потік певних модусів, які за своєю суттю не є скінченними, а нескінченними, але які точно так само, як і скінченний, є скінченними. може бути визначений за допомогою чітко визначених і помітних чисел.

Трансфінітні числа самі по собі в певному сенсі є новими ірраціональностями, і насправді, на мій погляд, найкращий метод визначення кінцевих ірраціональних чисел абсолютно не схожий на мій метод введення трансфінітних чисел, і я міг би навіть сказати, що він по суті такий же, як і описаний вище метод введення трансфінітних чисел. Можна сказати беззастережно: трансфінітні числа стоять або падають разом із скінченними ірраціональними числами; вони схожі один на одного у своїй найглибшій сутності; бо перші, як і другі, є певними, обмеженими формами або модифікаціями дійсного нескінченного.

Використовуйте теги для посилань на кампанії, щоб вказати незначні відмінності у вмісті для роздільного тестування.

Потенційна нескінченність означає не що інше, як невизначену, змінну величину, яка завжди залишається кінцевою, яка повинна приймати значення, які або стають меншими за будь-яку кінцеву межу, якою б малою вона не була, або перевищують будь-яку кінцеву межу, якою б великою вона не була.

Старе і часто повторюване твердження " Totum est majus sua parte "[ціле більше частини] може бути застосоване без доказів тільки у випадку сутностей, заснованих на цілому і частини; тоді і тільки тоді воно є незаперечним наслідком понять" totum "і"pars".". Однак, на жаль, ця" аксіома "використовується незліченно часто без будь-яких підстав і з нехтуванням необхідною відмінністю між" реальністю "і" кількістю", з одного боку, і" числом "і" безліччю", з іншого, саме в тому сенсі, в якому вона зазвичай помилкова.

Якби Міттаг-Леффлер досяг свого, мені довелося б почекати до 1984 року, який здався мені занадто великою вимогою!

Трансфінітні числа-це в певному сенсі нові ірраціональності [... вони] стоять або падають разом з кінцевими ірраціональними числами.

Не завжди сліпо дотримуйтесь вказівок та покрокових інструкцій; ви можете натрапити на щось цікаве.

Цього погляду [на нескінченне], який я вважаю єдино правильним, дотримуються лише деякі. Хоча, можливо, я найперший в історії, хто так явно дотримується цієї позиції з усіма наслідками, що випливають звідси логічними наслідками, я точно знаю, що я не буду останнім!

Моя теорія тверда, як скеля; кожна стріла, спрямована в неї, швидко повернеться до свого стрільця. Звідки я це знаю? Тому що я вивчав її з усіх боків протягом багатьох років; тому що я розглядав усі заперечення, які коли-небудь висувалися проти нескінченних чисел; і перш за все тому, що я простежив її коріння, так би мовити, до першої непогрішної причини всього створеного.

Великі інновації відбуваються лише тоді, коли люди не бояться робити щось інакше.

Я настільки прихильник дійсного нескінченного, що замість того, щоб визнати, що Природа терпіти його не може, як це зазвичай говорять, я вважаю, що Природа часто використовує його всюди, щоб більш ефективно продемонструвати досконалості його Автора. Таким чином, я вважаю, що немає такої частини матерії, яка б не була - я не кажу "поділеною", - але насправді поділялася б; і, отже, найменшу частинку слід розглядати як світ, повний нескінченної кількості різних істот.

У мене немає сумнівів щодо істин транфінітів, які я пізнав з Божою допомогою і які, у всьому їх різноманітті, я вивчав більше двадцяти років; щороку і майже кожен день просуває мене в цій науці.

Всі мої прекрасні докази лежать в руїнах.

Я усвідомлюю, що в цьому починанні я ставлю себе в певну опозицію широко поширеним поглядам на математичну нескінченність і часто відстоюваним думкам про природу чисел.

Мені подобається творчий підхід до збору даних. Ось кілька креативних ідей для відстеження в Google Analytics, які я бачив:

Математика абсолютно вільна у своєму розвитку, і її поняття пов'язані тільки необхідністю бути послідовними і узгоджуються з поняттями, введеними раніше, за допомогою точних визначень.

Математика, розвиваючи свої ідеї, повинна брати до уваги тільки іманентну реальність своїх понять і абсолютно не зобов'язана досліджувати їх минущу реальність.