George Polya відомі цитати

Математика-найдешевша наука. На відміну від фізики чи хімії, для її вивчення не потрібно дорогого обладнання. Все, що потрібно для вивчення математики, - це олівець і папір.

Велике відкриття вирішує велику проблему, але у вирішенні будь-якої проблеми є зерно відкриття. Ваша проблема може бути скромною, але якщо вона викликає вашу цікавість і залучає ваші винахідницькі здібності, а також якщо ви вирішите її своїми силами, ви можете відчути напругу і насолодитися тріумфом відкриття.

З чого я повинен почати? Почніть з формулювання проблеми. ... Що я можу зробити? Уявіть проблему в цілому якомога чіткіше і наочно... Що я можу отримати, зробивши це? Ви повинні зрозуміти проблему, ознайомитися з нею, відобразити в своїй свідомості її мета.

Навіть досить хороші учні, коли вони знаходять рішення задачі і акуратно записують аргументацію, закривають Підручники і шукають що-небудь інше. Роблячи це, вони пропускають важливий і повчальний етап роботи. ... Хороший учитель повинен розуміти і вселяти своїм учням думку про те, що жодна проблема не є повністю вичерпаною.

Краса математики в тому, щоб бачити істину без зусиль.

Педантизм і майстерність - це протилежні підходи до правил. Суворо і беззаперечно дотримуватися правила в тих випадках, коли воно підходить, і в тих випадках, коли воно не підходить, - це педантизм. [...] Застосовувати правило з природною легкістю, зважено, відзначаючи випадки, в яких воно підходить, і ніколи не дозволяючи словами правила затуляти мету дії або можливості ситуації, - це майстерність.

Якщо ви хочете навчитися плавати, ви повинні увійти у воду, а якщо ви хочете навчитися вирішувати проблеми, ви повинні самі вирішувати їх.

Епітафія Ньютону: "Природа і закони природи були приховані вночі: Бог сказав:" Хай буде Ньютон!"- і все стало світло. [додано сером Джоном Коллінгсом сквайром: це тривало недовго: диявол закричав " Хо! Залиш Ейнштейна в спокої", відновив статус-кво] [версія Аарона Хілла: за законами природи Бог відкинув покрив ночі, душа Ньютона спалахнула, і все стало світло.

Мій метод подолання труднощі полягає в тому, щоб обійти її стороною.

Щоб перекласти речення з англійської на французьку, потрібні дві речі. По-перше, ми повинні добре розуміти англійське речення. По-друге, ми повинні бути знайомі з формами вираження, характерними для французької мови. Ситуація дуже схожа на ту, коли ми намагаємося висловити математичними символами умова, запропоноване словами. По-перше, ми повинні добре розуміти цю умову. По-друге, ми повинні бути знайомі з формами математичного вираження.

Вирішення проблем - це така ж практична навичка, як, скажімо, плавання. Будь-який практичний навик ми набуваємо шляхом наслідування і практики. Намагаючись плавати, ви імітуєте те, що інші люди роблять руками і ногами, щоб тримати голову над водою, і врешті-решт ви навчитеся плавати, практикуючись у плаванні. Намагаючись вирішити проблеми, ви повинні спостерігати і наслідувати те, що роблять інші люди при вирішенні проблем, і, врешті-решт, ви вчитеся вирішувати проблеми, виконуючи їх.

Якщо є проблема, яку ви не можете вирішити, то є простіша проблема, яку ви не можете вирішити: знайдіть її.

Перше правило стилю-мати, що сказати. Друге правило стилю-тримати себе в руках, коли випадково у вас виникає бажання сказати дві речі; говоріть спочатку одну, потім іншу, але не обидві одночасно.

Я занадто хороший для філософії і недостатньо хороший для фізики. Математика знаходиться десь посередині.

Математика-це не видовищний вид спорту!

Математика полягає в тому, щоб довести найбільш очевидну річ найменш очевидним способом.

Успіх у вирішенні проблеми залежить від правильного вибору ракурсу, від атаки фортеці з її доступною боку.

Краще вирішити одну проблему п'ятьма різними способами, ніж вирішити п'ять проблем одним способом.

Математика має два обличчя: це сувора Наука Евкліда, але це також щось інше. Математика, представлена в евклідовому вигляді, постає як систематична, дедуктивна наука; але математика в процесі становлення постає як експериментальна, індуктивна наука. Обидва аспекти такі ж старі, як і сама математика.

Манера викладу Евкліда, неухильно просувається від даних до невідомого і від гіпотези до висновку, ідеальна для детальної перевірки аргументації, але далека від досконалості для того, щоб зробити зрозумілою основну лінію аргументації.

Аналогія пронизує все наше мислення, наше повсякденне мовлення та наші тривіальні висновки, а також художні способи вираження та найвищі наукові досягнення.

Щоб вирішити це диференціальне рівняння, ви дивитесь на нього, поки вам не спаде на думку рішення.

У" коментарі " (записці, представленій Російській академії наук), в якому вперше була опублікована його теорема про багатогранники (про число граней, ребер і вершин), Ейлер не наводить жодних доказів. Замість доказу він пропонує індуктивний аргумент: він перевіряє співвідношення в різних окремих випадках. Немає сумнівів, що він також відкрив цю теорему, як і багато інших його результатів, індуктивним шляхом.

Я навмисно уникаю стандартного терміну, якого, до речі, не існувало за часів Ейлера. Одним з найпотворніших наслідків "нової математики" стало передчасне введення технічних термінів.

Математик, який може лише узагальнювати, схожий на мавпу, яка може лише піднятися на дерево, а математик, який може лише спеціалізуватися, схожий на мавпу, яка може лише спуститися з дерева. Насправді ні висхідна, ні спадна мавпи не є життєздатними істотами. Справжня мавпа повинна знаходити їжу і рятуватися від ворогів, а значить, повинна вміти постійно дертися вгору і спускатися вниз. Справжній математик повинен вміти узагальнювати та спеціалізуватися.

Одного разу у Гільберта був студент математики, який перестав відвідувати його лекції, і врешті-решт йому сказали, що молодий чоловік пішов, щоб стати поетом. Як повідомляється, Гільберт зауважив:"Я ніколи не думав, що у нього достатньо фантазії, щоб стати математиком".

Цей принцип настільки абсолютно Загальний, що ніяке конкретне застосування його неможливо.

Перший і головний обов'язок середньої школи у викладанні математики-приділяти особливу увагу методичній роботі при вирішенні завдань...Учитель, який хоче в рівній мірі обслуговувати всіх своїх учнів, як майбутніх користувачів математики, так і тих, хто нею не користується, повинен навчати вирішення завдань так, щоб воно на одну третину складалося з математики і на дві третини з здорового глузду.

Правильно писати і говорити, звичайно, необхідно, але цього недостатньо. Висновок, правильно представлений у книзі чи на дошці, може бути недоступним та неінформативним, якщо мета послідовних кроків незрозуміла, якщо читач чи слухач не можуть зрозуміти, як у людській силі було знайти такий аргумент....

Ідея, яку можна використовувати один раз, - це трюк. Якщо її можна використовувати кілька разів, це стає методом.

Найкраща з ідей страждає від некритичного сприйняття і розквітає при критичному розгляді.

Велике відкриття вирішує велику проблему, але в будь-якій проблемі є зерно відкриття.

Елегантність математичної теореми прямо пропорційна кількості незалежних ідей, які можна побачити в теоремі, і обернено пропорційна зусиллям, необхідним для їх перегляду.

Всьому світу не терпиться захопитися цією вершиною і кульмінацією сучасної математики: теоремою настільки абсолютно загальної, що ніяке конкретне застосування її неможливо.

Досить часто, коли з'являється ідея, яка могла б виявитися корисною, ми не надаємо їй значення, тому що вона настільки непомітна. Експерт може не мати більше ідей, ніж недосвідчений, але він більше цінує те, що має, і краще використовує це.

Щоб ефективно викладати, вчитель повинен перейнятися своїм предметом; він не зможе змусити своїх учнів відчути його життєву силу, якщо сам цього не відчує. Він не може поділитися своїм ентузіазмом, коли йому нема чим поділитися. Те, як він висловлює свою думку, може бути настільки ж важливим, як і те, що він висловлює; він повинен особисто відчувати, що це важливо.

Викладач рідко може дозволити собі пропустити питання: Що таке невідоме? Які дані? Яка умова? Студент повинен уважно, неодноразово і з різних сторін розглянути основні аспекти проблеми.

Одна з перших і головних обов'язків викладача - не створювати у своїх учнів враження, що математичні завдання слабо пов'язані один з одним і взагалі ні з чим не пов'язані. У нас є природна можливість досліджувати взаємозв'язки в задачі, озираючись на її вирішення.

Якщо ви не можете вирішити запропоновану задачу, спробуйте спочатку вирішити якусь суміжну проблему.

Є багато питань, які можуть задати дурні, на які мудреці не можуть відповісти.

Перше правило відкриття-це мати мізки і удачу. Друге правило відкриття-сидіти склавши руки і чекати, поки тобі в голову не прийде блискуча ідея.

Будучи введеною в невідповідний час або в невідповідному місці, хороша логіка може стати найлютішим ворогом хорошого викладання.

Математика-це лінь. Математика дозволяє принципам виконувати роботу за вас, щоб вам не довелося виконувати її самостійно

Геометрія-це наука про правильні міркування на основі неправильних фігур.

Головний секрет справжнього успіху полягає в тому, щоб вкласти всю свою індивідуальність у вирішення проблеми.

У Цюріху був семінар для просунутих студентів, який я вів, і на ньому був присутній фон Нейман. Я прийшов до певної теореми і сказав, що вона не доведена і це може бути складно. Фон Нойман нічого не сказав, але через п'ять хвилин він підняв руку. Коли я звернувся до нього, він підійшов до дошки і почав записувати доказ. Після цього я став боятися фон Неймана.

Якщо доказ починається з аксіом, виділяє кілька випадків і займає тринадцять рядків у підручнику... у дітей може скластися враження, що математика полягає в доведенні найбільш очевидних речей найменш очевидним способом.

Майбутній математик... повинен вирішувати завдання, вибирати завдання за своєю спеціальністю, міркувати над їх вирішенням і придумувати нові завдання. Таким чином, як і всіма іншими способами, він повинен спробувати зробити своє перше важливе відкриття: він повинен виявити свої симпатії і антипатії, свій смак, свою власну лінію поведінки.

Коли ви збираєте свій перший гриб або робите своє перше відкриття, Озирніться навколо: вони ростуть цілими гронами.

Якщо вам потрібно довести теорему, не поспішайте. Перш за все, повністю розберіться в тому, що говориться в теоремі, постарайтеся ясно зрозуміти, що вона означає. Потім перевірте теорему; вона може бути помилковою. Проаналізуйте наслідки, перевірте стільки конкретних прикладів, скільки необхідно, щоб переконатися в істинності теореми. Коли ви переконаєтесь, що теорема правильна, ви можете приступити до її доведення.